Свойства собственных векторов и собственных значений

Определим в линейном векторном пространстве на множестве единичных векторов  ортогональные единичные векторы , образующие его базис (главные компоненты). Здесь .  

Найдем разложение по базису :

Следовательно, - представление в базисе . Тогда,:

.

Каждая строка матрицы определяет проекции всех на направление . Определим угловые соотношения (косинусы) между всеми единичными векторами , задаваемые матрицей .

Очевидно, что . Поскольку углы между векторами не зависят от выбора системы координат, то . Следовательно, и - единичная матрица размерностью .

Найдем произведение :

Так как ,  то в полученной матрице по диагонали стоят суммы квадратов проекций всех

векторов на  направление :. Поскольку все , то .

        Рассмотрим тождество:

.

Выделим  -ый вектор-столбец из произведения слева:, где - столбец матрицы ; и из произведения справа:

Таким образом, и - собственный вектор матрицы , принадлежащий собственному значению , а полученное равенство определяет квадратичную форму:.  Следовательно, собственные вектора могут быть найдены решением следующего характеристического уравнения:

 или:

Для того, чтобы система имела ненулевое решение необходимо, чтобы определитель системы и, следовательно, определятся решением уравнения -ой степени:

Обычно условливаются:. Подставляя конкретное собственное значение в систему, находим соответствующий ему собственный вектор .

Содержание | Назад